69163) כאשר: v מהירות, m מסה, T טמפרטורה, k קבוע בולצמן. dv ל- v היא הסיכוי שלמולקולה תהיה מהירות בין ( f ( (v

Transcript

1 סמסטר אביב, תשע"א ) : ) פיסיקלית א' כימיה מס' תרגיל פיתרון. התפלגות המהירויות של מקסוול-בולצמן שאלות המשך לתרגיל קודם) שאלה מבחינה מבחן 7, מועד א') א. ב. ג. הנחות המודל שמביאות לקבלת התפלגות מקסוול-בולצמן הן: המרחב הוא איזוטרופי אין תלות כיוונית או אין כיוון מועדף). המהירויות בצירים השונים אינן תלויות זו בזו. 3 3, m mv f v) = exp 4π התפלגות מקסוול-בולצמן התלת-מימדית נתונה ע"י v π kt kt כאשר: v מהירות, m מסה, T טמפרטורה, k קבוע בולצמן. +v או: ל- v היא הסיכוי שלמולקולה תהיה מהירות בין f v משמעות ההתפלגות בכללה ) שבר המולקולות מבין כל המולקולות בעלות מסה m בטמפרטורה T שהן בעלות מהירות בתחום זה). ההתפלגות מתאימה למצב של שיווי-משקל תרמי. האיברים השונים בהתפלגות: m - גורם נרמול: π kt כל התפלגות חייבת לקיים את תנאי הנרמול לפיו סך כל הסיכויים על כל המרחב הוא, כלומר השטח חייב להיות שווה ל- כדי שההתפלגות תהיה מנורמלת. = f v) עקב גורם הנרמול, כנדרש. mv - פקטור בולצמן: exp kt מייצג את כמות המולקולות שהן בעלות אנרגיה קינטית של, המתאימה למהירות mv סקלרית v. לפי פקטור בולצמן, הסיכוי של מולקולות להיות בעלות אנרגיה קינטית מסוימת קטן אקספוננציאלית עם הגידול באנרגיה. כמו כן, כמות המולקולות בעלות אנרגיה קינטית נתונה גדל עם הטמפרטורה זהו הגורם הדומיננטי מבחינת הטמפרטורה). - 4π גורם ניוון: v היות ואנו דנים במהירויות סקלריות, הרי שבכיוונים שונים ייתכנו מהירויות סקלריות זהות בעוד המהירויות הוקטוריות שונות בתכלית. גורם הניוון מייצג את מספר הוקטורים השונים שקיימים עם אותו אורך, כלומר אותו מרחק מהראשית במרחב המהירויות. במקרה של שלושה מימדים, חישבנו את מספר הוקטורים שניתן להעביר מהמרכז לשפה של כדור בעל רדיוס v, כלומר כל הוקטורים הנמצאים בתוך הנפח של קליפה דקה בעובי. הסברנו כבר באריכות בתרגול את תלות ההתפלגות בטמפרטורה ובמסה: ) טמפרטורה ככל שמגדילים את הטמפרטורה, ההתפלגות "נמרחת" משתטחת) ומוסחת לעבר מהירויות גבוהות יותר. ) מסה ככל שמגדילים את המסה, ההתפלגות הופכת צרה יותר ומוסחת לעבר המהירויות הנמוכות יותר בדיוק הפוך מהשפעת הטמפרטורה). נזכיר שוב, כי בכל מקרה השטח מתחת לגרפים נותר קבוע מתנאי הנרמול).

2 ד. : v ) והמהירות הממוצעת v mp תכונות המהירות המסתברת ביותר ) ) המהירות המסתברת ביותר היא המהירות שהסיכוי למצוא מולקולות באינטרבל קטן סביבה הוא מקסימלי, כלומר מקסימום בהתפלגות זכרו, כי הסיכוי למצוא מולקולה בדיוק במהירות מסוימת הוא אפסי, ועל כן יש לנסח את התשובה בעדינות כפי שנוסחה). המהירות הממוצעת, כשמה כן היא ממוצע המהירויות השונות כלומר, הממוצע שיתקבל אם נמדוד את המהירות של מספר רב מאוד של מולקולות ונמצע). הסיבה להבדל בין שני הערכים הוא שהעקומה לא סימטרית סביב המרכז, אלא מצד אחד היא מתחילה ב- ומצד שני יש לה "זנב" הנמשך עד אינסוף באופן אסימפטוטי לאפס). שימו לב, כי עבור התפלגות סימטרית למשל בחד-מימד) אכן יש זהות בין שני הגדלים הללו המהירות בחד-מימד). גרף מייצג למגמה זו הוא, לדוגמה, הגרף שניתן לכם בדף העזר בתרגול: גדלים אלו יתקרבו זה לזה יותר במובן של הפער היחסי ולאו דווקא האבסולוטי ביניהם) בגבול של טמפרטורות גבוהות או של מסות קטנות, כפי שהוסבר בסעיף ג'. במצב זה, העקומה נמרחת ומתרחבת מאוד, כך שאפקט החוסר-סימטריות הולך ונעשה זניח יותר. המהירות הממוצעת הוקטורית של ההתפלגות חייבת להיות אפס ), וזאת על סמך ההנחה הבסיסית כי המרחב איזוטרופי. מהנחה זו, אנו מבינים כי לכל וקטור מהירות יהיה וקטור מהירות זהה בגודל והפוך כיוון בהסתברות זהה, כך שבממוצע נקבל אפס. ניתן גם להראות זאת באופן מתמטי אם רושמים את התפלגות מקסוול-בולצמן הוקטורית או אם תחשבו מה קורה בכל ציר בנפרד חזרו לשאלה מס' ), ותכלילו לכל הצירים למהירות הוקטורית זכרו כי הנחת המודל היא שאין תלות בין הצירים, כך שההכללה פשוטה). ) 3) ה. בסעיף זה, המולקולות מוגבלות לנוע על פני אחד מאלכסוני התיבה, משמע ההתפלגות הרלוונטית היא mv m היות והן נמצאות התפלגות מקסוול-בולצמן החד-מימדית: f v) = exp π kt kt בשיווי-משקל תרמי, נסיק כי ההתפלגות שרירה). על מנת לקבל את המהירות המסתברת ביותר של מולקולות במערכת זו, עלינו לגזור את fv) ולהשוותו ל-. למעשה, אין צורך לעשות חישוב כלל וזאת בהסתמך על תכונות הסימטריה של ההתפלגות בחד-מימד, ונקבל מיידית: = v. כמובן, שגם מי mp ו. שמתעקש לגזור ולחשב מוזמן. ניתן לראות כי אין תלות במסה ובטמפרטורה. ההבדל העקרוני בין ההתפלגות החד-מימדית לתלת-מימדית הוא שבהתפלגות התלת-מימדית נוסף גם גורם ניוון עקב האופי הסקלרי של ההתפלגות ורב-המימדיות של השאלה). דבר זה גורם לכך שההתפלגות הופכת ללא-סימטרית סביב הראשית, וכן המקסימום שלה ) mp v) מוסח מ- למהירות סופית עקב התחרות בין פקטור הניוון לפקטור בולצמן. ראו הציורים בשאלה בתרגיל זה.

3 א ב ג גזירת פונקצית התפלגות האנרגיה מהתפלגות המהירויות כפי שציינו בתרגול, על מנת לקבל את פונקצית התפלגות האנרגיה הקינטית מתוך פונקצית התפלגות המהירות, צריך לבצע החלפה של המשתנה ושל הדיפרנציאל.. de E= mv = mv = נתחיל בהחלפת הדיפרנציאל ב- de :de mv ונקבל ע"י הצבה בביטוי של :fv) 3 3 mv mv m f v) = 4πv e = m4πve de π π כעת, נותר להיפטר מ- v נוסף בביטוי. לשם כך נשים לב לקשר בין הביטוי mv לאנרגיה: E= mv E = mv mv= E כמו כן, נחליף בביטוי בולצמן את המעריך באנרגיה הקינטית. נקבל את הביטוי: 3 3 mv f v) = 4π mve de= 4π Ee de π π שימו לב, כי למעשה כבר קיבלנו את הביטוי המתבקש נותר רק "לשחק" עם פקטורי חזקות של ולהוציאם מתוך הסוגריים); נקבל: 3 f v) = π Ee de= f E) de π E E. nk T B בניגוד להתפלגות המהירויות של גז אידיאלי אותה חקרנו בתרגול), התפלגות האנרגיה הקינטית של איננה תלויה במסה של הגז, אלא רק בטמפרטורה. לכן, אין כל חשיבות לסוג הגז או למסתו כל עוד נוכל להמשיך ולהניח אידיאליות): תמיד התפלגות האנרגיה הקינטית שלו בטמפרטורה נתונה תהיה זהה. עובדה זו מזכירה לנו את התוצאה שקיבלתם, לפיה האנרגיה הקינטית הממוצעת) של כל הגזים באותה הטמפרטורה ללא תלות במסה) היא זהה ) 3 ), אך היא בעצם חזקה יותר: לא רק שהממוצע אינו משתנה, אלא גם ההתפלגות כולה זהה. מאידך, תלות התפלגות האנרגיה בטמפרטורה דומה לזו שהתקבלה עבור התפלגות המהירויות; כלומר, ככל שהטמפרטורה עולה הפונקציה מוסחת ימינה לכיוון האנרגיות הגבוהות יותר, המקבילות למהירויות גבוהות יותר) ו"משתטחת" כלומר מתרחבת סטיית התקן עולה). זכרו גם כי תמיד השטח מתחת לפונקציה חייב להישאר, לשם נרמול. גם זה כמובן מתאים לנו לתוצאה המוכרת לנו כבר מפיתוחים קודמים של התורה הקינטית. ההצגה הגרפית המתאימה היא, למעשה, זו הנתונה לכם בשאלה מס' 4 בדף התרגיל עבור טמפרטורות שונות): כמובן שאין כל טעם לצייר גרפים עבור מסות שונות באותה הטמפרטורה הם פשוט ישבו בדיוק זה על זה, לפי התוצאה שקיבלנו). בדומה לכל פונקצית התפלגות רציפה, גם כאן חישוב הממוצע מתבצע ע"י אינטגרציה: ) 3 E 3 E = Ef E de= π E e de π k B T שימו לב, כי אינטגרל זה אינו מופיע בצורתו הנ"ל בטבלת האינטגרלים, אך ניתן לבצע החלפת משתנים =E, על מנת להופכו לאינטגרל טבלה. שימו לב כי עלינו להחליף גם את פשוטה יחסית: x 3

4 ד א de=, ולבדוק האם יש צורך בשינוי גבולות האינטגרציה במקרה הדיפרנציאל של האינטגרציה xdx זה אין צורך). לשם נוחות נסמן, ונקבל: ax 4 ax a= k T E = π X e XdX 4π X e dx π kt = π kt נשתמש באינטגרל מס' 3) בטבלה, ונקבל: B 3 4! π 3 E = 4π = k 5 BT π 5! kt זוהי, כמובן, התוצאה הצפויה לפי התורה הקינטית של הגזים ומעיקרון החלוקה השווה! זכרו כי קיבלנו תוצאה זו האנרגיה הקינטית הממוצעת) גם מתוך התפלגות המהירויות: 3k E = mv = m v = m B T 3 = k T m B כפי שניתן לראות, האנרגיה הקינטית תלויה בטמפרטורה, אך לא במסה כלומר, לא תלויה בסוג הגז שנמצא). כפי שהסברנו, עובדה זו מדגישה את הקשר החד-חד-ערכי שבין הגדרת הטמפרטורה להגדרת האנרגיה הקינטית למעשה, הטמפרטורה מוגדרת ע"י האנרגיה הקינטית של הגזים). מציאת האנרגיה הקינטית המסתברת ביותר למולקולה בפאזה הגזית ) mp E) תתבצע ע"י גזירת ההתפלגות שקיבלנו והשוואתה הנגזרת לאפס מציאת נק' קיצון): E df E) E kt mp = e + = Emp = de kt E= E E mp mp E mp = ) mp התשובה לא מקיימת את הקשר m v שם נקבל k B T ללא החצי), וזאת היות ובמעבר בין מהירות לאנרגיה יש לשנות גם את הדיפרנציאל, עובדה שלא נלקחת בחשבון בהצבה של המהירות המסתברת ביותר בריבוע. לכן, הקשר השני איננו נכון. התפלגות מקסוול-בולצמן ב- מימדים השאלה עוסקת תיאורטית בעולם -מימדי ) ), ואנו נשאלים שאלות שונות על התפלגות המהירויות של מקסוול-בולצמן כלומר, על סמך אותן ההנחות) בעולם שכזה.? v v+, v v+,..., v v + הסיכוי למציאת מולקולה בתחום ) שימו לב, כי זוהי שאלה וקטורית, כלומר דרשנו דרישה על מהירות בעלת גודל וכיוון מסוימים המתבטאים בגדלים של הוקטורים לאורך כל אחד מן המימדים/הצירים). מכאן, שהתשובה לסעיף זה תינתן על סמך התפלגות וקטורית, שלוקחת בחשבון כל אחד מן הרכיבים בנפרד ולא רק את הגודל הכולל של המהירות הסקלרית). זוהי הפונקציה עליה דנו בתרגול תחת הסימון v )φ. הדרך לקבלה היא פשוט לכפול את כל ההתפלגויות החד-מימדיות זו בזו על סמך הנחת חוסר-התלות בין הצירים, ההנחה השנייה של מקסוול). לאחר מכן, אנו יודעים כי ההתפלגות לאורך כל ציר זהה ההנחה הראשונה של מקסוול). נקבל: φ v) = g v ) g v ) g v ) = π ) ) v + v v ) = exp = exp v = π כאשר v מסמן, כרגיל, את גודל המהירות. שימו לב כי קיבלנו שוב ש- v )φ תלויה רק בגודל המהירות, ולא ברכיבים השונים, על אף שהיא התפלגות וקטורית עובדה הנובעת מן האיזוטרופיות של המרחב..3 4

5 ב ג לשם רישום פונקצית צפיפות הסתברות למציאת מולקולה בעלת מהירות שגודלה, v עלינו לעבור להתפלגות סקלרית ב- מימדים. ראינו כבר שההבדל בין ההתפלגויות הוקטוריות לסקלריות הוא תוספת של פקטור ניוון, שהוא השטח/נפח של קליפה-דקה של כדור -מימדי עיגול בשני מימדים, כדור בשלושה מימדים וכו') זהו הפקטור שבהתאם לסימטריה של השאלה שקיבלנו גם בסעיף א') סוכם על כל המהירויות הוקטוריות שהן בעלות גודל מהירות זהה. כפי שראיתם בסימונים בכתה, מקבלים:... ) ) ) v + v + + v G v = φ v = ) exp π shell shell כאשר הסכום הוא על כל הדיפרנציאלים הקטנים הנותנים את שטח/נפח הספירה שמכיל את כלל המהירויות הוקטוריות בעלות אותו גודל מהירות. ציינו בתרגול, שבהינתן הנוסחה לנפח של כדור - מימדי, עלינו לגזור נוסחה זו לפי הרדיוס לקבלת הנוסחה לשטח הפנים ראינו גם שיטות נוספות לקבלת הפקטור, אך זוהי הנוחה ביותר כאן): π ) r π ) r, neven dr, neven 4 dv 4 V r) = d V r) = dr= π ) r dr π ) r, nodd dr, nodd 3 3 נבדוק את התאמת הנוסחה הכללית שקיבלנו עבור המקרים = התפלגות דו-מימדית) ו- 3= התפלגות תלת-מימדית): π ) r dr= π rdr, D n=, even) dv d V r) = dr= 3 3 dr π ) 3r dr= 4 π r dr, 3 D n= 3, odd) 3 קיבלנו בדיוק את פקטורי הניוון הדו- והתלת-מימדיים, בהתאמה: השטח של טבעת דקה בעובי dr והנפח של קליפה דקה בעובי ;dr פרט לכך שאצלנו, במרחב המהירויות, הרדיוס r הוא גודל המהירות v. לכן נקבל: G v) = ) exp v π = shell π ) v 4 ) exp v = π ) 3 π v,, neven nodd בפרט, כבר וידאנו שקיבלנו את התשובות של המקרים הפרטיים לדו- ולתלת-מימד) היות ובדקנו כי פקטור הניוון הפקטור היחיד שמשתנה) נכון. v rms על מנת לקבל את ערכו של עבור הביטוי ה- -מימדי נוכל או לבצע את האינטגרל ישירות בעזרת טבלת האינטגרלים שלנו, וכשאנו מבדילים בין זוגי לאי-זוגי לפי הנוסחאות), או להשתמש בעיקרון החלוקה השווה. לפי עיקרון החלוקה השווה, בשיווי-משקל תרמי כל דרגת חופש ריבועית הגדרנו בתרגול למה הכוונה) תורמת בממוצע לאנרגיה.5 עבור מול של גז. בפרט, כל מימד בהתפלגות הקינטית הוא דרגת חופש ריבועית, ולכן בהתפלגות -מימדית האנרגיה הקינטית הממוצעת תהיה..5 כעת, נשווה בין ביטוי זה לבין הביטוי המפורש של האנרגיה הקינטית בעזרת המהירות: Ek =.5, v rms = vrms = Ek.5 v.5v = = rms 5

6 א ב ג ד שאלה מבחינה מבחן, מועד א') תיקון גרביטציוני להתפלגות מקסוול-בולצמן: 3 ),,,,, ), ) v + gz φ vx vy vz x y z = φ v h exp π כאשר x,y,z מייצג את הקואורדינטות במרחב z הציר הניצב לפני כדור הארץ "ציר הגובה"), ו- h מייצג את הגובה מעל פני כדור הארץ. gz, המתאר האיבר שנוסף לנו כעת לביטוי ולא הופיע בהתפלגות המקורית הוא האיבר exp דעיכה של פונקצית ההסתברות עם העלייה בגובה z בהתאם לאנרגיה הפוטנציאלית של הכבידה:. U = gz pot מכאן, שתיקון זה בא "לשבור" את הנחת האיזוטרופיות של מודל מקסוול לפיה כל הצירים זהים), ולהזכירנו כי על פני כדור הארץ ישנו ציר אחד שונה שבו פועל שדה כבידה. לכן, ההתפלגות גם אינה איזוטרופית יותר וזהה לכל הצירים, אלא יש לה תלות מפורשת בציר הגובה z, בעוד שאינה תלויה כלל בצירים x ו- y כלומר, במובן זה נשמרה "איזוטרופיה" לשניים מן הצירים). למעשה, התעלמותנו מן הכבידה והנחת האיזוטרופיות הפריעה לחלקכם כבר ברגע שהתחלנו לדון על התפלגות המהירויות של מקסוול-בולצמן ועל הנחותיה בתרגולים, ובצדק..4 פיתרון הסעיף מיידי. נצא ממשוואת הגז האידיאלי עבור הצפיפות: PV = n ρ = n = P V וכעת פשוט נציב את התלות המפורשת בצפיפות של הלחץ ונקבל את תלות הצפיפות בגובה. למעשה, זה שקול לחלוקת המשוואה הנתונה ב-. מקבלים: ) ) n P z P gz gz ρ z = z) = = exp ρ exp V כלומר, באופן מיידי מקבלים כי הצפיפות דועכת בדיוק כמו הלחץ, תוצאה טריויאלית לחלוטין תחת הנחותינו. אמנם ניתן לקבל את התיקון הנתון לכם בתחילת השאלה בדרכים שונות, כאשר אחת מהן היא פשוט ע"י ההנחה שמדובר בפקטור בולצמן של האנרגיה הכוללת קינטית ופוטנציאלית-כובדית) של המולקולות, כפי שנדון בהמשך השאלה סעיף ה)). אך, זוהי כבר דרך מאוחרת בהרבה כוללת ידע של מכניקה סטטיסטית וכו') ואינה מתקשרת לדרך שבה קיבלנו את התפלגות מקסוול-בולצמן בקורס זה. בנוסף, נתבקשנו לקבל את הביטוי על סמך הסעיף הקודם. לכן, התשובה המתבקשת הייתה כי הביטוי בראש השאלה מתקבל מהכפלת התפלגות המהירויות התלת- מימדית הרגילה של מקסוול עם הנחת האיזוטרופיות וללא הכבידה) בפונקצית התלות של הצפיפות בגובה שקיבלנו בסעיף הקודם). בכך, הביטוי שלנו שהוא התיקון מהסדר הנמוך ביותר לקיום כבידה) יענה הן לדרישות התפלגות המהירויות והן לעובדה שצפיפות המולקולות קטנה עם הגובה, ומכאן שגם ההסתברות למצוא מולקולות הולכת וקטנה עם הגובה. כפי שכבר ראינו, צורה של מכפלה בפונקצית צפיפות הסתברות ובהסתברות בכלל) משמעה הנחה נסתרת של חוסר תלות. במקרה זה, חוסר תלות בין התפלגות המהירויות בכל גובה) לבין צפיפות המולקולות באותו הגובה. כפי שלמדתם בשיעור וראינו גם בתרגולים וגם בתרגול החזרה, איזותרמית משמעה "שוות-טמפרטורה", כלומר מצב בו הטמפרטורה לא משתנה. בקירוב שלנו, אנו מניחים כפי שראיתם בפיתוח הנוסחה הברומטרית בכיתה) שהטמפרטורה לא משתנה עם הגובה אלא היא אחידה באטמוספירה), כך שמתקבל שהגודל היחיד שמשתנה עם העלייה בגובה הוא צפיפות המולקולות או לחצן) ולא הטמפרטורה. זהו כמובן קירוב גס כאשר מדובר על פערים גדולים של גבהים, היות וידוע כי גם הטמפרטורה צונחת עם העלייה בגובה. להזכירכם, בפיתוח הנוסחה הנחתם גם כי תאוצת הכבידה g אינה משתנה עם הגובה. 6

7 ה ו כפי שכבר ברור בשלב זה בשאלה והודגם בתרגולים ובשיעורים, האיבר האקספוננציאלי מכיל במונה את מינוס האנרגיה במקרה זה, האנרגיה המולקולארית הכוללת שהיא סכום על האנרגיה הקינטית ואנרגית הכובד הפוטנציאלית) מחולק בגודל, ומכאן שזהו פקטור בולצמן עבור האנרגיה הכוללת של מולקולות. כלומר, זהו איבר שמבטא את צפיפות ההסתברות הלא-מנורמלת) למציאת חלקיק בעל אנרגיה קינטית.5mv כלומר, גודל מהירות v) ובעל אנרגיה פוטנציאלית ;mgz או: בעל האנרגיה הקינטית הנ"ל ובגובה של z מעל פני כדור הארץ. כפי שלמדתם על פקטור בולצמן באופן כללי, למעשה איבר זה מאפשר לנו לחשב את יחסי האוכלוסיות שבין מולקולות במהירות v וגובה h לבין מולקולות במהירות v וגובה h ע"י: v + gh exp, ) φ v h dh v v ) + g h h ) = = = exp φ v, h ) dh v + gh exp כמובן, שיש לנרמל את ההתפלגות כולה הן עבור כל המהירויות כפי שעשינו בתרגולים) וכעת גם עבור כל הגבהים, על מנת שזו תהיה פונקצית צפיפות התפלגות "כשרה". בהתאם לתיקון הנ"ל, נענה על השאלות שניתנו: i) ניתן לראות כי ככל שעולים בגובה, נוסף למשוואה איבר שמקטין את ההסתברות אקספוננט של מינוס של גודל חיובי, כלומר אקספוננט של גודל שלילי). ומכאן, שככל שאנו עולים בגובה, הסיכוי למצוא מולקולה באותו טווח מהירויות קטן. הסיבה לכך ברורה בהתאם לתשובתנו לסעיף ג': אם התפלגות המהירויות היחסית בכל חתך גובה זהה היות והיא לא תלויה בגובה), אך עלינו לכפול גם בעובדה שצפיפות המולקולות קטנה אקספוננציאלית עם הגובה לפי הנוסחה הברומטרית), אזי ברור כי ההסתברות למציאת מולקולות תקטן עם העלייה בגובה. הסבר אלטרנטיבי הוא שעל מנת להימצא בגובה גדול יותר ובאותה מהירות, דרושה למולקולה אנרגיה רבה יותר; לכן, למולקולה בעלת אנרגיה קינטית מסוימת סיכוי נמוך יותר להימצא בגובה גבוה יותר. ניתן היה להראות זאת גם מתמטית אם כי לא נדרש) ע"י הצבה; לשם כך, נצא מן הביטוי המקורי ונזכור כי גם עבור הגובה מדובר בפונקצית צפיפות ולכן נשאל את השאלה עבור טווח גבהים dh מסוים, ולא עבור גובה מדויק לאינסוף): 5 gh v exp dh exp [4,5 m s ], ) d φ v h = km dh 4 = = = 5 d φ v [4,5 m s ], h = km) dh gh v exp dh exp 4 g h h ) = exp < היות ו- h, h< קיבלנו אקספוננט של גודל שלילי, כלומר גודל חיובי וקטן מאחד; על כן ברור כי הסיכוי קטן עם הגובה. מההתפלגות ברור כי אין כל רגישות למיקום בצירים x ו- y כלומר לאזימוט של הקואורדינטה), אלא אך ורק תלות מפורשת בציר z וזה גם הגיוני כי זהו הציר המיוחד היחיד הציר בו פועל שדה הכבידה). מכאן, שהסיכוי לא משתנה כפונקציה של הקואורדינאטות x ו- y, אלא נשאר זהה. כלומר, לפי הנחותינו, נוכל לדגום כל מקום בכדור הארץ בתנאי שאנו באותו הגובה מעל פני כדור הארץ ולקבל את אותו הסיכוי. היחס יקטן. הסיבה לכך היא שבעת העלייה לגובה, הצפיפות של המולקולות הכבדות יותר במקרה זה החמצן) יורדת מהר יותר מאשר הצפיפות של המולקולות הקלות יותר כאן המימן). ולכן, אם היחס למציאת המולקולות בגובה =z או ללא התיקון, זה למעשה אותו הדבר) הוא גודל נתון, הרי שככל שנעלה בגובה ההסתברות למציאת המולקולות הכבדות תקטן יותר פשוט היות והצפיפות שלהם קטנה יותר), ולכן היחס כולו יקטן במקרה שלנו. כלומר, המקור לכך הוא ישירות התלות של הנוסחה הברומטרית במסה כפי שלמדתם, לפי הנוסחה הברומטרית בגבהים גבוהים יותר, עולה השבר המולי של הגזים הקלים יותר). ii) iii) 7

8 ז א גם כאן ניתן להראות זאת מתמטית: O gh O v exp dh exp φo v, h= 3 km) dh = φ, 3 ) H v h= km dh H gh H v exp dh exp ) O ) H gh G O v G = exp < GH v) G < O H v) v) GO v) GH v ) היות ורכיב בולצמן הקשור לאנרגיה הקינטית אינו תלוי בגובה, היחס אינו תלוי בו, אלא אך ורק ברכיב האנרגיה הגרביטציונית. האנאלוגיה במקרה זה היא ברורה, ויש להוסיף כעת בפקטור בולצמן לאיברי האנרגיה הקינטית נוסחת מקסוול) והאנרגיה הפוטנציאלית הכובדית התיקון שלמדנו כאן) גם את האיבר הקשור לאנרגיה הפוטנציאלית של השדה החשמלי כלומר, האנרגיה הכוללת מורכבת כעת משלוש תרומות שונות. לכן, נקבל: φ vx, vy, vz, x, y, z) xyzdxdydz 3 ) v + gzµ E exp xyzdxdydz π שימו לב כי כעת באופן הכללי ביותר ללא ידע נוסף על השדה וכו') ההתפלגות תלויה בכל שש הקואורדינאטות. שאלה מבחינה מבחן 9, מועד א') למעשה, כל שהיה עליכם לעשות הוא לעבור מפונקצית התפלגות המהירויות הרלוונטית, שנתון לכם. g f ) df לפונקצית התפלגות התדירויות: g vx שהיא הפונקציה החד-מימדית: ) x כהערת אגב נציין כי במדידת בליעה/פליטה הגלאי נמצא במיקום מסוים, ולפי אפקט דופלר הפער בתדר יושפע אך ורק מן המהירות היחסית בין הגלאי למולקולות בציר המחבר ביניהן. לכן, ההתפלגות המתאימה במקרה זה תיאורטית היא ההתפלגות החד-מימדית, וזאת על אף שהמולקולות חופשיות לנוע בכל כיוון. נצא מן הביטוי המוכר להתפלגות מקסוול-בולצמן החד-מימדית: ) v x ) g vx ) x = exp x π על מנת לעבור להתפלגות התדירויות, נבצע פעולה דומה לזו שביצענו במעבר להתפלגות האנרגיה בשאלה הקודמת ובכיתה). זו גם הייתה מטרת הרמז שניתן לכם. ראשית, נחלץ ביטוי ל- v x כתלות ב- f: vx f f f vx c, c + x df c = = f f חילצנו גם את הדיפרנציאל החדש, כפי שעשינו עבור האנרגיה. לכן: f c )) ) vx ) exp f g vx x = ) x = ) exp c df π π f c f f) f ) g f ) df = c exp π f df.5 קיבלנו את ההתפלגות בתדר. כעת, נתון כי ספקטרום הפליטה של גז בטמפרטורה T מורחב בהתאם להתפלגות זו, וכן נתון כי עוצמת הפליטה I פרופורציונאלית לשבר המולקולות הרלוונטי. היות וההתפלגות מציינת את שבר המולקולות באינטרבל נתון או, במשמעות אקוויוולנטית, את הסיכוי למצוא מולקולות באינטרבל נתון), הרי שהתפלגות עוצמות הפליטה תהיה: 8

9 ב c c f f) f ) π f c f f) f ) I f ) df g f ) df = exp df or I f ) = I f ) exp שימו לב, כי בסעיף זה כל שנתבקשתם לעשות הוא להשוות בין הנתון לכם עבור הפונקציה הגיאוסיאנית x x ) לבין הפונקציה שקיבלנו כתשובה לסעיף א'. הכללית A exp f x) = σ היות והתשובה לסעיף א' היא גם כן פונקציה גיאוסיאנית כמו ההתפלגות החד-מימדית עצמה): c f f) f ) ) c I f exp π f c ) f f σ f c c σ = = = כל שנותר לעשות הוא לזהות כי: ולהציב בנוסחה הנתונה לכם: FWH = ln σ = ln = f 8 ln) c c f להשכלה כללית נציין כי אכן הרחבת דופלר היא בדרך כלל אחת ההרחבות המשמעותיות ביותר בעבודה בפאזה גזית, ובעזרתה ניתן להסביר גם את רוחב הקווים של לייזרים בפאזה גזית כגון לייזר He:e או לייזר.CO החישוב התיאורטי מתאים במקרים אלו בצורה טובה לרוחב הקו הנמדד ניסיונית. 9

10 שאלות לתרגול נוסף 6. שאלה מבחינה מבחן 8, מועד ב') בשאלה נתון כי ננו-חלקיקים מצויים בשיווי-משקל תרמי, כך שהתנהגותם דומה לכזו של מולקולות זה. המשמעות עבורנו: החלקיקים מקיימים את התפלגות מקסוול-בולצמן. הרעיון העיקרי בשאלה זו היה ראשית להבין כי זהו בסך הכול מודל, כך שאין כל צורך להבין מהם ננו- חלקיקים או להילחץ מן השימוש בהם, אלא להתייחס אליהם כאל גז לכל דבר. שנית, היות ונתון לנו כי d קטן מאוד, היה עליכם להבין כי המערכת היא אפקטיבית דו-מימדית D-), כך שבכל הסעיפים היה צורך לפתח/להשתמש בתוצאות שקיבלנו עבור ההתפלגות הדו-מימדית. נסמן את הציר שהזנחנו את אורכו ב- z, כך שאנו דנים בתנועה במישור xy בלבד. א. פונקצית צפיפות למהירות הוקטורית במערכת כפי שלמדנו, משמעות פונקצית הצפיפות הוקטורית במערכת היא הסיכוי למצוא חלקיק ב"תיבה" קטנה במרחב המהירות, כלומר שנמצא בתחום: ) v v +, v v +, v v +. x x x y y y z z z היות והתפלגות מקסוול-בולצמן מניחה איזוטרופיות של המרחב אין כיוון מועדף, כך שפונקציות הצפיפות לכל הצירים זהות) וכן חוסר-תלות בין ההתפלגות בצירים שונים, הרי שפונקצית הצפיפות הוקטורית היא בסך הכול מכפלה פשוטה של פונקציות הצפיפות החד-מימדיות המוכרות: x + vy ) v d v vx, vy = g v ) g v ) = ) e = ) e π π x y x y x y x y כאשר הצבנו לנוסחה את ההתפלגות החד-מימדית: vx / y ) g v x / y ) x / y = e x / y π המהירות הממוצעת של הננו-חלקיקים במערכת על מנת לחשב את המהירות הממוצעת של הננו-חלקיקים במערכת, עלינו ראשית להגדיר את פונקצית צפיפות ההסתברות לגודל המהירות כלומר הגודל הסקלרי speed במקום.velocity כפי שלמדנו בתרגול, עלינו להכפיל את ההתפלגות הדו-מימדית הוקטורית שקיבלנו בפקטור הניוון הדו- מימדי לקבלת התשובה וראו גם שאלה מס' ): v G v) = π v exp π כעת, בדומה לכל התפלגות רציפה, נחשב את המהירות הממוצעת תוחלת ההתפלגות) ע"י: v π < v>= vg v) = π v exp π = פתרון האינטגרל בעזרת טבלת אינטגרלים, וראו גם הטבלה בשאלה מס' ). ב. ג. האנרגיה הממוצעת של הננו-חלקיקים במערכת על מנת לחשב את האנרגיה הקינטית הממוצעת של הננו-חלקיקים במערכת, ניתן לבצע אחד משניים: חישוב ישיר: < Ek, ניתן לחשב את >= בעזרת הקשר המוכר בין אנרגיה קינטית למהירות > v >m המומנט השני של התפלגות המהירויות ולהציבו בנוסחה בצורה דומה לסעיף הקודם). חישוב כזה נותן ושוב ראו הטבלה בשאלה מס' ): =< v, < ולכן: < E k >= < v >= = כאשר חישבנו כמובן את האנרגיה הממוצעת למול).

11 א שימוש בעיקרון החלוקה השווה: כפי שלמדנו, עיקרון החלוקה השווה theorem) equi-partition צופה שלכל דרגת חופש למול. טרנסלטורית תהיה אנרגיה ממוצעת של היות והמערכת שלנו דו-מימדית, מתקבל: < E > =. k D כמובן שהפיתרון השני קל יותר ואלגנטי יותר, אך התשובה בשתי השיטות זהה. ד. הפעלת שדה חשמלי לאורך ציר x כעת נאמר לנו כי מכניסים חלקיקים טעונים לתוך שדה חשמלי בכיוון ציר x, ואנו נשאלים מה יקרה להתפלגות לאורך ציר זה. מסקנה ראשונה היא שעלינו להתייחס אך ורק להתפלגות לאורך ציר ספציפי, כלומר להתפלגות החד- מימדית ואכן אם אנו ממשיכים להניח אי-תלות בין הצירים, כפי שהניחו מקסוול-בולצמן, אין שום השפעה של השינוי על ההתפלגות בציר הניצב y). סעיף זה הוא סעיף חשיבתי, ועל כן תשובות שונות התקבלו, אך הרעיון העיקרי שכעת כבר ברור שהמרחב לא-איזוטרופי לאורך ציר x: כלומר נוצר כיוון מועדף כיוון ציר x החיובי ו/או השלילי). לכן, ברור כי ההתפלגות לא תהיה סימטרית סביב = x v, אלא תיטה לכיוון ציר x החיובי הן המהירות הממוצעת והן המהירות המסתברת ביותר). בנוסף, גם צורת ההסתברות צפויה להיות לא-סימטרית יותר וגם להשתנות פונקציונלית ולא להיות גיאוסיאן יותר. אגב, גם תשובה בסגנון של במצב זה כבר אין יותר שיווי-משקל תרמי פשוט, כלומר ההתפלגות תשתנה כל הזמן עקב תאוצת החלקיקים וכו'), התקבלה בנימוק מתאים ועם ציון מגמה סבירה. שחזור ניסיוני של התפלגות מקסוול-בולצמן בסעיף זה נתבקשתם לתאר מערכת ניסיונית כלשהי שבעזרתה ניתן למדוד את התפלגות המהירויות של גז נתון. הכוונה הייתה שתעזרו במערכת עליה למדתם בכיתה בה השתמשו iller ו- Kusch בניסויים המפורסם משנת 955 המאמר המקורי שלהם נמצא באתר לעיונכם). המערכת מתוארת באיור הבא לקוח מתוך מצגות הכיתה שלכם): קרן מכוונת.7 גלאי תנור צילינדר מסתובב עם חריצים ספירליים המולקולות יוצאות דרך סדק מתוך תנור בטמפרטורה נתונה, כך שההנחה היא שבתוך התנור הן נמצאות בשיווי משקל תרמי ומקיימות את התפלגות המהירויות של מקסוול-בולצמן. ביציאה מן התנור נבררות רק מולקולות בכיוון מסוים ליצירת קרן מכוונת. לאחר מכן, המולקולות נכנסות לצילנדר מסתובב, שם הן עוברות דרך חריצים מבלי לפגוע בקירות החריצים. ע"י שינוי מהירות הסיבוב, ניתן לברור בצורה טובה את המהירות של המולקולות שיצליחו לעבור את הצילינדר. לאחר הצילינדר, המולקולות נמדדות ע"י גלאי "סופר פגיעות"), וכך ניתן לדעת כמה מולקולות פגעו בכל מהירות עבור יחידת זמן נתונה). אגב, החישוב הסופי צריך לקחת בחשבון את העובדה שהמולקולות המהירות פוגעות בקצב יותר מהיר בקיר, כך שההתפלגות המקורית מתעוותת מעט לטובת המהירויות הגבוהות... ניתן לתקן דבר זה).

12 ב ג ד המדען רצה למדוד את התפלגות המהירויות של גז החמצן, ולשם כך הכניס אוויר מהחדר המכיל את כל הגזים השונים!) לתוך המערכת, וביצע מדידה של התפלגות המהירויות. כפי שניתן לראות, העקומה הניסיונית סוטה ימינה כלומר למהירויות גבוהות יותר ביחס לעקומה התיאורטית. מבחינת המגמות שאנו מכירים זה מתאים למולקולות עם מסה נמוכה יותר או מולקולות בטמפרטורה גבוהה יותר. i. הגורם לסטייה בין העקומות הוא ככל הנראה העובדה שהמדען הכניס את האוויר לתוך מודד המהירויות, אך למעשה התכוון למדוד רק את החמצן. לכן, העקומה התיאורטית היא עבור החמצן בלבד עם מסתו מולרית של 3 גר'/מול), בעוד שלמעשה בתוך המערכת היו גזים נוספים בעיקר כ- 8% חנקן, עם מסה מולרית נמוכה במעט של 8 גר'/מול). היות ובמערכת הנוכחית, הגלאי אינו מבדיל בין סוגי מולקולות אלא רק בין מהירויות שונות הרי שהוא מדד את כלל ההתפלגות של כל המולקולות. כזכור, בתערובת גזים, כל אחד מן הגזים מקיים את התפלגות מקסוול-בולצמן בעצמו. לכן, המדען מדד למעשה "תערובת" של שתי ההתפלגויות, עם עדיפות מספרית לחנקן שמהווה כ- 8% מן האטמוספירה). היות ולחנקן מסה מולרית קטנה במעט, ההתפלגות שלו נוטה למהירויות גבוהות יותר. זה אכן מתאים למגמה הנצפית ניסיונית: הטיה ימינה והרחבה..ii בהנחה שההשערה שלנו צודקת, הרי שלמעשה הגלאי מודד תערובת של כ- 8% חנקן % חמצן בהזנחת הגזים האחרים, המהווים אחוז קטן מן האטמוספירה). לכן, נוסחה שנוכל להציע היא נוסחה שבה יש ממוצע משוכלל מן הצורה: G v) =.8 G v) +. G v) ) tot O מדידת אטומי הבורון ב- :3ºC i. הניסוי היה צריך להיערך בטמפרטורה כה גבוהה היות ואנו מודדים את ההתפלגות של הגזים של בורון, שטמפרטורת האידוי שלו היא כ-.6ºC למעשה, לא חייבים לחמם כל כך היות וניתן לעבוד בתנאים שונים ובטמפרטורות נמוכות יותר כמובן שבלחצים נמוכים יותר), אך הרעיון כאן היה עקרוני..ii הגורם לסטייה שלנו כאן היא העובדה שלבורון יש למעשה שני איזוטופים שונים במסות של גר'/מול ו- גר'/מול ובשכיחות של % ו- 8% בהתאמה), כך שאם מחשבים אך ורק עבור האיזוטופ הנפוץ ) או שמים רק את המסה המולרית הכללית.8) מקבלים בניסיון סטייה מן התיאוריה. הסטייה כאן היא לעבר מהירויות גבוהות יותר ניסיונית, ביחד לתיאוריה עובדה שנובעת מכך שישנו גם את האיזוטופ-, הקל יותר, שגורם להסחת ההתפלגות למהירויות גבוהות יותר. הסיבה במקרה של חומצה אצטית היא הנטייה הכללית של חומצות קרבוקסיליות ליצור דימרים המבוססים על קשרי מימן, על מנת לייצב את עצמן ראו איור משמאל). עקב כך, גם בפאזה הגזית ישנם דימרים, שכמובן מסתם המולרית גדולה יותר פי שתיים). לכן, העקומה הניסיונית שבה יימדדו גם הדימרים "תמצע" גם עליהם, ומכאן שהיא תיטה לעבר מהירויות נמוכות יותר מסת הדימר גדולה יותר). אגב, התופעה של דימרים נצפית גם לעתים בניסויים של אפוזיה עם חומצות קרבוקסיליות.